" CALCULO DIFERENCIAL ": 3.1.- Límite de una Función.

El límite de la función f(x) en el punto x₀, es el valor al que se acercan las imágenes (las y) cuando los originales (las x) se acercan al valor x₀. Es decir el valor al que tienden las imágenes cuando los originales tienden a x₀
El límite de una función en un punto si existe, es único.

En este caso vemos que el límite tanto por la izquierda como por la derecha cuando x tiende a 2 es 4.

El límite de la función es 4 aunque la función no tenga imagen en x = 2.

Para calcular el límite de una función en un punto, no nos interesa lo que sucede en dicho punto sino a su alrededor.

Como no coinciden los límites laterales, la función no tiene límite en x = 0.

CALCULO DEL LIMITE DE UNA FUNCION

i f(x) es una función usual (polinómicas, racionales, radicales, exponenciales, logarítmicas, etc.) y está definida en el punto a, entonces se suele cumplir que:

Es decir: para calcular el límite se sustituye en la función el valor al que tienden las x.

No podemos calcular límite

porque el dominio de definición está en el intervalo [0, ∞), por tanto no puede tomar valores que se acerquen a −2.

Sin embargo sí podemos calcular límite

, porque aunque 3 no pertenezca al dominio, D=

− {2, 3}, sí podemos tomar valores del dominio tan próximos a 3 como queramos.

Cálculo del límite en una función definida a trozos

En primer lugar tenemos que estudiar los límites laterales en los puntos de unión de los diferentes trozos.

Si coinciden, este es el valor del límite.

Si no coinciden, el límite no existe.

En x = −1, los límites laterales son:

Por la izquierda: límite

Por la derecha: Limite

Como en ambos casos coinciden, el límite existe y vale 1.

En x = 1, los límites laterales son:

Por la izquierda: límite

Por la derecha: límite

Como no coinciden los límites laterales no tiene límite en x = 1.

Límite de funciones polinómicas en el infinito

El límite cuando x → ∞ de una función polinómica es +∞ o −∞ según que el término de mayor grado sea positivo o negativo.

Ejemplos

Límite de la inversa de un polinomio en el infinito

Si P(x) es un polinomio, entonces:

1.-

5.-

No existe el límite, porque el radicando toma valores negativos.

_{INDETERMINACIONES}

Una indeterminación no significa que el límite no exista o no se pueda determinar, sino que la aplicación de las propiedades de los límites tal como las hemos enunciadas no son válidas.

En estos casos hay que efectuar operaciones particulares para resolver cada una de las indeterminaciones.