Unidad IV Derivadas

DERIVADA DE UNA FUNCION

En matemáticas, la derivada de una función es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función matemática, según cambie el valor de su variable independiente. La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se torna cada vez más pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada de una cierta función en un punto dado.

Un ejemplo habitual aparece al estudiar el movimiento: si una función representa la posición de un objeto con respecto altiempo, su derivada es la velocidad de dicho objeto. Un avión que realice un vuelo transatlántico de 4500 km entre las 12:00 y las 18:00, viaja a una velocidad media de 750 km/h. Sin embargo, puede estar viajando a velocidades mayores o menores en distintos tramos de la ruta. En particular, si entre las 15:00 y las 15:30 recorre 400 km, su velocidad media en ese tramo es de 800 km/h. Para conocer su velocidad instantánea a las 15:20, por ejemplo, es necesario calcular la velocidad media en intervalos de tiempo cada vez menores alrededor de esta hora: entre las 15:15 y las 15:25, entre las 15:19 y las 15:21, etc.

Entonces el valor de la derivada de una función en un punto puede interpretarse geométricamente, ya que se corresponde con la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en dicho punto. La recta tangente es a su vez la gráfica de la mejoraproximación lineal de la función alrededor de dicho punto. La noción de derivada puede generalizarse para el caso de funciones de más de una variable con la derivada parcial y el diferencial.

La derivada de una función f en un punto x se denota como f′(x). La función cuyo valor en cada punto x es esta derivada es la llamada función derivada de f, denotada por f′. El proceso de encontrar la derivada de una función se denomina diferenciación, y es una de las herramientas principales en el área de las matemáticas conocida como cálculo infinitesimal. Concretamente, el que trata de asuntos vinculados con la derivada se denomina cálculo diferencial.¹

La derivada de una función  es la pendiente geométrica de la recta tangente del gráfico de  en . Sin el concepto que se va a definir, no es posible encontrar directamente la pendiente de la línea tangente a una función dada, porque solamente se conoce un punto en la línea tangente: . La idea es aproximar la línea tangente con múltiples líneas secantes que tienen distancias progresivamente más pequeñas entre los dos puntos que cruzan. Cuando se toma el límite de las pendientes de las líneas secantes de esta progresión, se consigue la pendiente de la línea tangente. Se define, pues, la derivada tomando el límite de la pendiente de las líneas secantes, al acercarlas a la línea tangente.

Para encontrar las pendientes de las líneas secantes próximas, se elige un número  relativamente pequeño.  representa un cambio relativamente pequeño en , el cual puede ser positivo o negativo. La pendiente de la recta que pasa por los dos puntos  y  es:

.

La derivada de la función f(x) en el punto x = a es el valor del límite, si existe, de un cociente incremental cuando el incremento de la variable tiende a cero.






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