3.3.- Continuidad de una Función

 CONTINUIDAD DE UNA FUNCION

 En Un Intervalo 
Definiciones:

Una función f es continua en un INTERVALO ABIERTO si y solo si, f es continua en TODO punto del intervalo.

Continuidad de Funciones.

Intuitivamente se puede decir que una función es continua cuando en su gráfica no aparecen saltos o cuando el trazo de la gráfica no tiene "huecos".

 Una función f es continua en un INTERVALO CERRADO [a, b] si y solo si, f es continua en el intervalo abierto (a, b), continua por la derecha de a y continua por la izquierda de b.

Definiciones similares se establecen para la continuidad de una función en un intervalo semiabierto de cualquiera de las formas: (a, b] ó [a, b).

Asi por ejemplo, la función (mayor entero menor o igual a x), es continua en los intervalos de la formaü , ya que en cada uno de estos intervalos, la función es constante. 
Considere también la función f definida por:

 
y cuya gráfica aparece en la fig. 8.8. 
Se desea analizar la continuidad de f en el intervalo [-1, 3]

Las funciones polinomiales, trigonométricas: seno y coseno, las exponenciales y los logaritmos son continuas en sus respectivos dominios de definición.

La parábola, como función polinómica, es un ejemplo de función continua a lo largo de todo el dominio real.

En la gráfica se ve la función seno que es periódica, acotada y continua en todo el domino real, dado su carácter periódico, con ver uno solo de los ciclos es suficiente para comprobar la continuidad, porque el resto de los ciclos son exactamente iguales.

Entrar a la página de vitutor y verificar Continuidad de una Función.
http://www.vitutor.com/fun/2/a_3_e_2.html 



FUNCIONES   DISCONTINUAS

Las funciones definidas para distintos intervalos de x, puede ser discontinua en los puntos de cambio de intervalo, como por ejemplo:

• La Función parte entera de x, E(x), donde E(x) es el mayor número entero inferior o igual a x, tal que:

E(x) ≤ x < E(x) + 1.

Su curva es una sucesión de segmentos horizontales a distintas alturas. Esta función no es continua en los enteros, pues los límites a la izquierda y a la derecha difieren de uno, pero es continua en los segmentos abiertos (n, n+1) donde es constante.

• Otras funciones definidas por intervalos son:

Función escalón unitario

Función signo

Las funciones racionales son continuas en un intervalo adecuado. Un ejemplo de esto es la función inverso de x:

Esta función es una hipérbola compuesta por dos tramos. x < 0 y x > 0. Como vemos, efectivamente es continua en todo eldominio  porque no está definida en x= 0. Si se extiende el dominio de la función a R (dándole un valor arbitrario a f(0)) la función será discontinua.

Ejemplos de discontinuidad

f(x)= 1/x2 Discontinua en x=0 (No existe f(0))

f(x) = x2 si x <= 2         2x - 4 si x > 2 Discontinua en x=2. Si bien existe f(2), no existe limx->2f(x), pues limx->2-f(x)=4 y limx->2+f(x)=0

Sin embargo, si miramos la función para x próximos a 2 pero menores, e ignoramos los x mayores que 2, la función es continua en 2 "por la izquierda".